Question

已知函数f(x)=ax-

1

x

-2lnx．
（I）求f（x）的单调递增 区间；
（II）a为何值时，函数f（x）在区间[

1

e

，e]上有零点．

Answer 1

分析：（I）求导，令导数大于零，对a分情况讨论，根据△的符号，即可求得结论；
（II）函数f（x）在区间[

1

e

，e]上有零点等价于方程f（x）=0在[

1

e

，e]上有实根，分离参数得a=

1

x2

+

2lnx

x

，x∈[

1

e

，e]，转化为求函数的最值问题，即可求得结论．

解答：解：（I）f′（x）=

ax2-2x+1

x2

(x＞0)
令f′（x）＞0?ax²-2x+1＞0
①若a=0，则0＜x＜

1

2

，f（x）的递增区间是(0，

1

2

)；
②若a＜0，则△=4-4a＞0
方程ax²-2x+1=0的两根x1=

1+ 1-a

a

＜0，x2=

1- 1-a

a

＞0，
当0＜x＜

1- 1-a

a

时，＞0
∴f（x）的递增区间是(0，

1- 1-a

a

]
③若a＞0且△=4-4a＞0，即0＜a＜1时，
方程ax²-2x+1=0的两根x1=

1- 1-a

a

＞0，x2=

1+ 1-a

a

＞0，
此时f（x）的递增区间为(0，

1- 1-a

a

]和[

1+ 1-a

a

，+∞)
④若a＞0且△=4-4a≤0即a≥1时f'（x）≥0
此时的递增区间为（0，+∞）．
（II）问题等价于方程f（x）=0在[

1

e

，e]上有实根，
而f（x）=0?a=

1

x2

+

2lnx

x

，x∈[

1

e

，e]
令g(x)=

1

x2

+

2lnx

x

，x∈[

1

e

，e]g′(x)=

2

x3

(x-xlnx-1)
再令?（x）=x-xlnx-1，则?'（x）=-lnx
当0＜x＜1时，?'（x）＞0，?（x）↗，当x＞1时，?'（x）＜0，?（x）↘
∴当x=1时，?（x）取得唯一的极大值也是?（x）的最大值（?（x））_max=?（1）=0
∴当x∈（0，+∞）时，g'（x）≤0∴g（x）在（0，+∞）上单调递减
∴当x∈[

1

e

，e]时，g(x)∈[

1

e2

+

2

e

，e2-2e]
故当a∈[

1

e2

+

2

e

，e2-2e]时，函数f（x）在[

1

e

，e]上有零点．

点评：掌握导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题．考查了计算能力和分析解决问题的能力，体现了分类讨论和转化的数学思想．