Question

设双曲线C以椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的两个焦点为焦点，且双曲线C的焦点到其渐近线的距离为2

3

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点E，F，且E，F都在以P（0，3）为圆心的同一圆上，求实数m的取信范围．

Answer 1

分析：（1）设要求的双曲线C方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），其渐近线方程为y=±

b

a

x．先求出椭圆的焦点，即得到双曲线的焦点，利用点到直线的距离公式及a²=c²-b²即可；
（2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由E，F都在以P（0，3）为圆心的同一圆上，利用圆的方程即可得到k，m的关系式．利用直线y=kx+m与双曲线的方程，利用△＞0及根与系数的关系即可得到m的取值范围．

解答：解：（1）设要求的双曲线C方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），其渐近线方程为y=±

b

a

x．
∵

25-9

=4，∴椭圆的两个焦点为（±4，0），即为双曲线的两个焦点．
∴焦点（4，0）到渐近线y=

b

a

x的距离2

3

=

|4b|

a2+b2

，得4b=2

3

×4，解得b=2

3

．
∴a2=c2-b2=42-(2

3

)2=4，
∴双曲线C的方程为

x2

4

-

y2

12

=1．
（2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
∵E，F都在以P（0，3）为圆心的同一圆上，
∴

x

2 1

+(y1-3)2=

x

2 2

+(y2-3)2，化为x₁+x₂+k（y₁+y₂-6）=0，
又y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，
代入上式整理得（1+k²）（x₁+x₂）+k（2m-6）=0．（*）
联立

y=kx+m 3x2-y2=12

，化为（3-k²）x²-2kmx-m²-12=0（3-k²≠0）．
由题意△=4k²m²+4（3-k²）（m²+12）＞0，化为12+m²＞4k²．（**）
又x1+x2=

2km

3-k2

，（k≠0），代入（*）整理为k2=

9-4m

3

，代入（**）
整理为3m²+16m＞0，解得m＜-

16

3

或m＞0．
由k2=

9-4m

3

＞0，解得m＜

9

4

．
∴实数m的取值范围是(-∞，-

16

3

)∪（0，

9

4

）．

点评：本题综合考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题转化为判别式及根与系数的关系等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力．