Question

（本小题满分13分）

已知函数．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

   （Ⅱ）求的极值；

   （Ⅲ）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数的取值范围．

Answer 1

（本小题满分13分）

解：（Ⅰ） ∵，

          ∴且．               ……………………… 1分

又∵，

∴．                   ……………………… 3分

∴在点处的切线方程为：，

即．                        ……………………… 4分

（Ⅱ）的定义域为，，……………………… 5分

令得．

当时，，是增函数；

当时，，是减函数；   …………………… 7分

∴在处取得极大值，即．……… 8分

（Ⅲ）（i）当，即时，

由（Ⅱ）知在上是增函数，在上是减函数，

∴当时，取得最大值，即．

又当时，，当时，，

当时，，

所以，的图像与的图像在上有公共点，

等价于，解得，

又因为，所以．                         ……………… 11分

（ii）当，即时，在上是增函数，

∴在上的最大值为，

∴原问题等价于，解得，

又∵   ∴无解

综上，的取值范围是．                        ……………… 13分