题目内容
甲、乙两地相距100Km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过50Km/h．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成； 可变部分与速度v（单位：Km/h）的平方成正比，且比例系数为4； 固定部分为a2元（a＞0）．为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？
解：设汽车的运输成本为y，由题意得
（0＜v≤50）…（4分）
当
时，即
且
时，y有最小值为400a …（6分）
当
时，设0＜v1＜v2＜50，则
=
…（8分）
∵
，∴
∴y2-y1＜0
∴函数
为减函数…（10分）
此时当v=50时y有最小值为20000+2a2…（12分）
分析：根据汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，建立函数关系式，再利用基本不等式及函数的单调性，即可求得函数的最小值．
点评：本题考查函数模型的构建，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，考查函数最值的求法，正确求函数的最值是关键．
（0＜v≤50）…（4分）当
时，即且时，y有最小值为400a …（6分）当
时，设0＜v1＜v2＜50，则=
…（8分）∵
，∴∴y2-y1＜0
∴函数
为减函数…（10分）此时当v=50时y有最小值为20000+2a2…（12分）
分析：根据汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，建立函数关系式，再利用基本不等式及函数的单调性，即可求得函数的最小值．
点评：本题考查函数模型的构建，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，考查函数最值的求法，正确求函数的最值是关键．
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