Question

在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

3

（b²+c²-a²）=2bc，B=2A．
（1）求tanA；
（2）设

m

=（2sin（

π

4

-B），1），

n

=（sin（

π

4

+B），-1），求

m

•

n

的值．

Answer 1

分析：（1）根据题中的等式结合余弦定理加以计算，可得cosA=

3

3

，再由同角三角函数的平方关系算出sinA=

6

3

，进而可得tanA的值；
（2）根据B=2A，利用二倍角的三角函数公式算出sinB=

2 2

3

、cosB=-

1

3

，进而算出2sin（

π

4

-B）与sin（

π

4

+B）的值，从而得到向量

m

、

n

的坐标，根据向量数量积的坐标运算公式即可算出

m

•

n

的值．

解答：解：（1）∵在△ABC中，

3

（b²+c²-a²）=2bc，可得b²+c²-a²=

2 3

3

bc，
∴由余弦定理，得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

2 3 3 bc

2bc

=

3

3

又∵A是三角形的内角，可得sinA=

1-cos2A

=

6

3

．
∴tanA=

sinA

cosA

=

2

；
（2）∵B=2A，cosA=

3

3

且sinA=

6

3

．
∴sinB=sin2A=2sinAcosA=2×

3

3

×

6

3

=

2 2

3

，cosB=cos2A=cos²A-sin²A=

1

3

-

2

3

=-

1

3

．
由此可得2sin（

π

4

-B）=2（sin

π

4

cosB-cos

π

4

sinB）=

2

（cosB-sinB）=

- 2 -4

3

，
sin（

π

4

+B）=sin

π

4

cosB+cos

π

4

sinB=

2

2

（cosB+sinB）=

- 2 +4

6

．
∴

m

=（2sin（

π

4

-B），1）=（

- 2 -4

3

，1），

n

=（sin（

π

4

+B），-1）=（

- 2 +4

6

，-1）
因此，

m

•

n

=

- 2 -4

3

•

- 2 +4

6

+1×（-1）=

2-16

18

-1=-

16

9

．

点评：本题给出三角形的边之间的平方关系式，求角A的三角函数值，并依此求向量

m

、

n

的数量积．着重考查了余弦定理、三角恒等变换公式与向量数量积公式等知识，属于中档题．