题目内容

已知函数f（x）=log $数学公式$ （x²-ax-a）在区间（-∞，- $数学公式$ ）上为增函数，求a的取值范围．

解：令g（x）=x²-ax-a．
∵f（x）=log $\text{[math]}$ g（x）在（-∞，- $\text{[math]}$ ）上为增函数，
∴g（x）应在（-∞，- $\text{[math]}$ ）上为减函数且g（x）＞0
在（-∞，- $\text{[math]}$ ）上恒成立．
因此 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ．
解得-1≤a＜ $\text{[math]}$ ，
故实数a的取值范围是-1≤a＜ $\text{[math]}$ ．
分析：用复合函数的单调性来求解，令g（x）=x²-ax-a．由“f（x）=log $\text{[math]}$ ^g（x）在（-∞，- $\text{[math]}$ ）上为增函数”，可知g（x）应在
（-∞，- $\text{[math]}$ ）上为减函数且g（x）＞0在（-∞，- $\text{[math]}$ ）上恒成立．再用“对称轴在区间的右侧，且最小值大于零”求解可得结果．
点评：本题主要考查复合函数的单调性，要注意函数的定义域及复合函数单调性的结论：同增异减的应用．

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已知函数f（x）=2x-2+ae^-x（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（2）当a=1时，若直线l：y=kx-2与曲线y=f（x）在（-∞，0）上有公共点，求k的取值范围．

已知函数f（x）=x²+2|lnx-1|．
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2）证明：对任意x∈[1，+∞），lnx≥

恒成立；
（3）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），如果在函数f（x）图象上存在点M（x₀，y₀）（其中x₀∈（x₁，x₂））使得点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当x₀=

时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．

已知函数f（x）=x²-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y-1=0垂直，若数列{

}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₂的值为（　　）

已知函数f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．

已知函数f（x）=

，a≠0且a≠1．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在（0，

）上单调递减，在（

，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．