Question

函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3）=f（x），f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数为 ______．

Answer 1

由f（x+3）=f（x），得出3是该函数的周期，
由于f（2）=0，若x∈（0，6），
则可得出f（5）=f（2）=0，
又根据f（x）为奇函数，则f（-2）=-f（2）=0，
又可得出f（4）=f（1）=f（-2）=0，
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得出f（0）=0，
从而f（3）=f（0）=0，在f（x+3）=f（x）中，
令x=-

3

2

，得出f(-

3

2

)=f(

3

2

)，
又根据f（x）是定义在R上的奇函数，得出f(-

3

2

)=-f(

3

2

)，
从而得到f(

3

2

)=-f(

3

2

)，即f(

3

2

)=0，
故f(

9

2

)=f(

3

2

+3)=f(

3

2

)=0，
从而f(

9

2

)=f(

3

2

)=f（4）=f（1）=f（3）=f（5）=f（2）=0，若x∈（0，6）．
故答案为：7．