题目内容

已知椭圆的焦点为 $数学公式$ ， $数学公式$ ，离心率为e，已知 $数学公式$ ，e， $数学公式$ 成等比数列；
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知P为椭圆上一点，求 $数学公式$ 最大值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，e， $\text{[math]}$ 成等比数列，
∴e²= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴e= $\text{[math]}$ ；…（2分）
∵一个焦点F₁（0，-2 $\text{[math]}$ ），
∴c=2 $\text{[math]}$ ，则a=3，
∴b²=9-8=1，
∴椭圆的标准方程：x²+ $\text{[math]}$ =1； …（6分）
（2）设点P的坐标为（x，y），则 $\text{[math]}$ =（-x，-2 $\text{[math]}$ -y）， $\text{[math]}$ =（-x，2 $\text{[math]}$ -y），
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（-x，-2 $\text{[math]}$ -y）•（-x，2 $\text{[math]}$ -y）
=x²+y²-8…（8分）
∵P为椭圆上一点，由（Ⅰ）知x²+ $\text{[math]}$ =1；
∴x²=1- $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =x²+y²-8= $\text{[math]}$ -7…（10分）
∴当y=3时， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 取得最大值1．…（12分）
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ，e， $\text{[math]}$ 成等比数列可求得e，而c=2 $\text{[math]}$ ，从而可求得a，继而可得椭圆的标准方程；
（2）设点P的坐标为（x，y），可求得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =x²+y²-8，结合（1）中椭圆的标准方程即可求得， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的最大值．
点评：本题考查椭圆的标准方程即其性质，考查向量的数量积与坐标运算，考查等比数列的性质，属于中档题．