Question

已知函数f（x）=log_a（x+2），g（x）=log_a（2-x）（a＞0且a≠1）
（1）判断函数f（x）+g（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由

x+2＞0 2-x＞0

求得函数的定义域为{x|-2＜x＜2}，再根据f（-x）+g（-x）=g（x）+f（x），可得函数f（x）+g（x）为偶函数．
（2）原不等式化为：loga(4-x2)＜0，分当0＜a＜1时、当a＞1时两种情况，分别求得不等式的解集．

解答：解：（1）由

x+2＞0 2-x＞0

求得-2＜x＜2，故函数的定义域为{x|-2＜x＜2}．
再根据f（-x）+g（-x）=log_a（-x+2）+log_a（2+x）=g（x）+f（x），
故函数f（x）+g（x）为偶函数．
（2）原不等式化为：loga(4-x2)＜0，
当0＜a＜1时，不等式等价于：4-x²＞1，即x²＜3，求得此时x的范围是{x|-

3

＜x＜

3

}．
当a＞1时，不等式等价于：0＜4-x²＜1，
求得此时x的范围是{x|

3

＜x＜2或者-2＜x＜-

3

}．

点评：本题主要考查求函数的定义域、判断函数的奇偶性，对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，
属于中档题．