Question

抛物线x²=2y离点A（0，a）最近的点恰好是顶点，这个结论成立的充要条件是（　　）

A．a≤0

B．a≤ 1 2

C．a≤1

D．a≤2

Answer 1

设点P（x，y）为抛物线上的任意一点，则点P离点A（0，a）的距离的平方为
AP²=x²+（y-a）²
=x²+y²-2ay+a²
∵x²=2y
∴AP²=2y+y²-2ay+a²（y≥0）
=y²+2（1-a）y+a²（y≥0）
∴对称轴为a-1
∵离点A（0，a）最近的点恰好是顶点
∴a-1≤0解得a≤1
故选C．