Question

已知等比数列{a_n}，S_n是其前n项的和，且a₁+a₃=5，S₄=15．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设，求数列{b_n}的前n项和T_n
（III）比较（II）中T_n与（n=1，2，3…）的大小，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）设{a_n}的公比为q，则由题意知a₁+a₃=a₁+a₁q²=a₁（1+q²）=5，S₄-（a₁+a₃）=a₂+a₄=a₁q（1+q²）=10，由此可知a_n=2^n-1．
（II）由题意知，，由此可知．
（III）由知当n=1、2时，T_n=；当n≥3时T_n＜．
解答：解：（I）设数列{a_n}的公比为q，则
方法一：a₁+a₃=a₁+a₁q²=a₁（1+q²）=5，S₄-（a₁+a₃）=a₂+a₄=a₁q（1+q²）=10（2分）
∴q=2，a₁=1，则a_n=2^n-1（4分）
方法二：易知q≠1，则a₁+a₃=a₁+a₁q²=a₁（1+q²）=5，
则1+q=3（2分）
（以下同方法一）（4分）
（II）由（I）可得，，
所以数列{b_n}是一个以为首项，1为公差的等差数列（5分）
∴
=
（III）∵（11分）
∴当n=1、2时，，即T_n=（12分）
当n≥3时，，即T_n＜（14分）
点评：本题考查数列的综合应用，解题时要注意审题，仔细解答．