Question

已知函数f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx+1．
（I）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥m对x∈[0，

π

2

]都成立，求实数m的最大值．

Answer 1

分析：（I）通过两角和公式化简函数f（x）=2sin（2x-

π

6

）根据正弦函数的单调性求出答案．
（Ⅱ）要使不等式f（x）≥m恒成立只需m≤f（x）_min．通对x∈[0，

π

2

]，根据f（x）=2sin（2x-

π

6

）求出f（x）的最小值，进而求出答案．

解答：解：（I）因为f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx+1
=1-cos2x+

3

sin2x+1=2sin(2x-

π

6

)+2
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)
得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

(k∈Z)
所以f（x）的单调增区间是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z)；
（Ⅱ）因为0≤x≤

π

2

，所以-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

所以-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1
所以f(x)=2sin(2x-

π

6

)+2∈[1，4]
故m≤1，即m的最大值为1．

点评：本题主要考查三角函数中的值域和定义域的问题．关键是要把函数化简成f（x）=Asin（ωx+φ）的形式．