题目内容

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数G＞0使 $数学公式$ 对一切实数x均成立，则称函数f（x）为G函数．现给出下列函数：
① $数学公式$ ；
②f（x）=x²sinx；
③f（x）=2x（1-3^x）；
④f（x）是定义在R的奇函数，且对一切x₁，x₂，恒有|f（x₁）+f（x₂）|≤100|x₁+x₂|．
则其中是G函数的序号为________．

①④
分析：①x≠0时，| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ |≤2= $\text{[math]}$ ；
②x≠0时，| $\text{[math]}$ |=|xsinx|，不存在常数G＞0，使得 $\text{[math]}$ 成立；
③x≠0时，| $\text{[math]}$ |=|2（1-3^x）|＜2，不存在常数G＞0，使得 $\text{[math]}$ 成立；
④当x₂=0，因|f（x₁）+f（x₂）|≤100|x₁+x₂|得到|f（x）|≤100|x|成立，这样的G存在
即可得到结论．
解答：①x≠0时，| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ |≤2= $\text{[math]}$ ，∴G=200，x=0也成立，故①为G函数；
②x≠0时，| $\text{[math]}$ |=|xsinx|，不存在常数G＞0，使得 $\text{[math]}$ 成立；
③x≠0时，| $\text{[math]}$ |=|2（1-3^x）|＜2，不存在常数G＞0，使得 $\text{[math]}$ 成立；
④当x₂=0，因|f（x₁）+f（x₂）|≤100|x₁+x₂|得到|f（x）|≤100|x|成立，这样的G存在，故④正确；
故答案为：①④
点评：本题考查函数的最值及其几何意义，考生需要有较强的分析问题解决问题的能力，对选支逐个加以分析变形，利用函数、不等式的进行检验，方可得出正确结论．