Question

在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=3，AD=2，AB=2

3

，BC=6，AC∩BD=E
①求证：平面PBD⊥平面PAC
②求二面角B-PD-A的余弦值．

Answer 1

分析：①在Rt△ABC中，利用已知可得∠BAC=60°．同理可得∠ABD=30°．进而得到BD⊥AC．再利用侧面垂直的性质可得PA⊥BD．利用线面垂直的判定定理即可得出；
②由①可得：BA⊥平面PAD．过点A作AF⊥PD，连接BF，得PD⊥BF．可得∠AFB是二面角B-PD-A的平面角．在Rt△PAD中，求出即可．

解答：①证明：在Rt△ABC中，tan∠BAC=

BC

AB

=

6

2 3

=

3

，∴∠BAC=60°．
又∵AD∥BC，∴∠BAD=90°．
在Rt△BAD，tan∠ABD=

AD

AB

=

2

2 3

=

3

3

，∴∠ABD=30°．
∴∠AEB=90°．
∴BD⊥AC．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
∵BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．
②由①可得：BA⊥平面PAD．
过点A作AF⊥PD，连接BF，则PD⊥BF．
∴∠AFB是二面角B-PD-A的平面角．
在Rt△PAD中，PD=

PA2+AD2

=

13

，AF=

PA•AD

PD

=

3×2

13

=

6

13

．
在Rt△ABE中，BF=

AB2+AF2

=

8 3

13

．
∴cos∠AFB=

AF

BF

=

3

4

．

点评：熟练掌握线面面面垂直的判定与性质定理、直角三角形的边角关系、三垂线定哩、二面角的作法与求法等是解题的关键．