题目内容

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足 $数学公式$ ，且a₁，a₂+5，a₃成等差数列．
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有 $数学公式$ ．

解：（1）在2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1中，
令n=1得：2S₁=a₂-2²+1，
令n=2得：2S₂=a₃-2³+1，
解得：a₂=2a₁+3，a₃=6a₁+13
又2（a₂+5）=a₁+a₃
解得a₁=1
（2）由2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，
$\text{[math]}$ 得a_n+2=3a_n+1+2ⁿ⁺¹，
又a₁=1，a₂=5也满足a₂=3a₁+2¹，
所以a_n+1=3a_n+2ⁿ对n∈N*成立
∴a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ），又a₁=1，a₁+2¹=3，
∴a_n+2ⁿ=3ⁿ，
∴a_n=3ⁿ-2ⁿ；
（3）（法一）
∵a_n=3ⁿ-2ⁿ=（3-2）（3^n-1+3^n-2×2+3^n-3×2²+…+2^n-1）≥3^n-1
∴ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ≤1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ；
（法二）∵a_n+1=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹＞2×3ⁿ-2ⁿ⁺¹=2a_n，
∴ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，，
当n≥2时， $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
… $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，
累乘得： $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ≤1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）在2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1中，令分别令n=1，2，可求得a₂=2a₁+3，a₃=6a₁+13，又a₁，a₂+5，a₃成等差数列，从而可求得a₁；
（2）由2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1， $\text{[math]}$ 得a_n+2=3a_n+1+2ⁿ⁺¹①，a_n+1=3a_n+2ⁿ②，由①②可知{a_n+2ⁿ}为首项是3，3为公比的等比数列，从而可求a_n；
（3）（法一），由a_n=3ⁿ-2ⁿ=（3-2）（3^n-1+3^n-2×2+3^n-3×2²+…+2^n-1）≥3^n-1可得 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，累加后利用等比数列的求和公式可证得结论；
（法二）由a_n+1=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹＞2×3ⁿ-2ⁿ⁺¹=2a_n可得， $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，于是当n≥2时， $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，累乘得： $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，从而可证得 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列与不等式的综合，考查数列递推式，着重考查等比数列的求和，着重考查放缩法的应用，综合性强，运算量大，属于难题．