Question

函数f(x)=

ax

x2+1

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）求实数a的值；
（2）用定义证明：f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（x）-f（1-x）＞0．

Answer 1

分析：（1）利用f(

1

2

)=

2

5

，即可解a．
（2）利用函数单调性的定义证明函数的单调性．
（3）利用函数的单调性的性质将不等式进行转化求解．

解答：解：（1）∵f(

1

2

)=

2

5

，
∴f(

1

2

)=

1 2 a

1 4 +1

=

2

5

a=

2

5

，
解得a=1．
（2）∵a=1，∴f（x）=

x

x2+1

．
在定义域（-1，1）上任设两个变量x₁，x₂，设x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

x1

x 2 1 +1

-

x2

x 2 2 +1

=

x1( x 2 2 +1)-x2( x 2 1 +1)

( x 2 1 +1)( x 2 2 +1)

=

(x1-x2)(1-x1x2)

( x 2 1 +1)( x 2 2 +1)

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，即1-x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在区间（-1，1）上的是增函数．
（3）∵f（x）-f（1-x）＞0．
∴f（x）＞f（1-x），
∵f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴

-1＜x＜1 -1＜1-x＜1 x＞1-x

．即

-1＜x＜1 0＜x＜2 x＞ 1 2

，解得

1

2

＜x＜1，
即不等式的解集为（

1

2

，1）．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的判断和证明，要求熟练掌握函数单调性的定义及证明过程．