题目内容
已知数列{an}满足an+1-2an=0，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）若bn=-anlog2an，Sn=b1+b2+…+bn，求使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．
分析：（Ⅰ）由题意知数列{an}是以2为公比的等比数列．再由a3+2是a2，a4的等差中项，可知a1=2，所以数列{an}的通项公式an=2n；
（Ⅱ）由题设条件知，bn=-n•2n，由此可知Sn=-2-2•22-3•23-4•24--n•2n，2Sn=-22-2•23-3•24-4•25--（n-1）•2n-n•2n+1，再由错位相减法可知使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．
（Ⅱ）由题设条件知，bn=-n•2n，由此可知Sn=-2-2•22-3•23-4•24--n•2n，2Sn=-22-2•23-3•24-4•25--（n-1）•2n-n•2n+1，再由错位相减法可知使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．
解答：解：（Ⅰ）∵an+1-2an=0，即an+1=2an，
∴数列{an}是以2为公比的等比数列．
∵a3+2是a2，a4的等差中项，∴a2+a4=2a3+4，
∴2a1+8a1=8a1+4，∴a1=2，
∴数列{an}的通项公式an=2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及bn=-anlog2an得，bn=-n•2n，
∵Sn=b1+b2++bn，
∴Sn=-2-2•22-3•23-4•24--n•2n①
∴2Sn=-22-2•23-3•24-4•25--（n-1）•2n-n•2n+1②
②-①得，Sn=2+22+23+24+25++2n-n•2n+1
=
-n•2n+1=(1-n)•2n+1-2
要使Sn+n•2n+1＞50成立，只需2n+1-2＞50成立，即2n+1＞52，n35
∴使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．
∴数列{an}是以2为公比的等比数列．
∵a3+2是a2，a4的等差中项，∴a2+a4=2a3+4，
∴2a1+8a1=8a1+4，∴a1=2，
∴数列{an}的通项公式an=2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及bn=-anlog2an得，bn=-n•2n，
∵Sn=b1+b2++bn，
∴Sn=-2-2•22-3•23-4•24--n•2n①
∴2Sn=-22-2•23-3•24-4•25--（n-1）•2n-n•2n+1②
②-①得，Sn=2+22+23+24+25++2n-n•2n+1
=
| 2(1-2n) |
| 1-2 |
要使Sn+n•2n+1＞50成立，只需2n+1-2＞50成立，即2n+1＞52，n35
∴使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．
点评：本题考查数列性质的综合运用，解题时要注意计算能力的培养．
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