题目内容
设x=-2与x=4是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求常数a、b；
（2）判断x=-2，x=4是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由．
【答案】分析：（1）先对函数f（x）进行求导，根据f'（-2）=0，f'（4）=0可求出a，b的值．
（2）将a，b的值代入导函数，然后根据函数的单调性与其导函数的政府之间的关系可判断函数的单调性，进而确定是极大值还是极小值．
解答：解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b．
由极值点的必要条件可知x=-2和x=4是方程f′（x）=0的两根，则a=-3，b=-24．
（2）f′（x）=3（x+2）（x-4），得
当x＜-2时，f′（x）＞0；
当-2＜x＜4时，f′（x）＜0．
∴x=-2是f（x）的极大值点．
当x＞4时，f′（x）＞0，则x=4是f（x）的极小值点．
点评：本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系．属基础题．
（2）将a，b的值代入导函数，然后根据函数的单调性与其导函数的政府之间的关系可判断函数的单调性，进而确定是极大值还是极小值．
解答：解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b．
由极值点的必要条件可知x=-2和x=4是方程f′（x）=0的两根，则a=-3，b=-24．
（2）f′（x）=3（x+2）（x-4），得
当x＜-2时，f′（x）＞0；
当-2＜x＜4时，f′（x）＜0．
∴x=-2是f（x）的极大值点．
当x＞4时，f′（x）＞0，则x=4是f（x）的极小值点．
点评：本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系．属基础题．
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