Question

（2012•安庆模拟）已知抛物线C₁：x²=y，圆C₂：x²+（y-2）²=1的圆心为M，点P在抛物线C1上，设点P坐标（x₀，x₀²），且x₀≠0，x₀≠±1，过点P作圆C₂的两条切线，并且分别交抛物线C₁于A、B两点．
（1）设PA、PB的斜率分别为k₁、k₂，试求出k₁+k₂关于x₀的表达式；
（2）若

PM

•

AB

=0时，求x₀的值；
（3）若x₀=-2，求证：直线AB与圆C₂相切．

Answer 1

分析：（1）设过点P的切线方程：y=k(x-x0)+x02，由kx-y-kx0+x02=0与圆C₂相切，知

|kx0+2-x02|

1+k2

=1，由此能求出k₁+k₂关于x₀的表达式．
（2）设A(x1，x12)，B(x2，x22)，（x₁≠x₂）由

y=k(x-x0)+x02 y=x2

，得x2-kx+kx0-x02=0，由此能求出当

PM

•

AB

=0时，x₀的值；
（3）由k_AB=x₁+x₂，知当x₀=-2时，k1+k2=-

8

3

，k₁k₂=1，由此能够证明AB与圆C₂相切．

解答：解：（1）由于x₀≠±1，知过P作圆M的切线，切线斜率存在，
设过点P的切线方程：y=k(x-x0)+x02，
即kx-y-kx0+x02=0与圆C₂相切，
故有：

|kx0+2-x02|

1+k2

=1，
整理得：(x02-1)k2+2x0(2-x02)k+(2-x02)2-1=0．
依题意，k₁，k₂是上述方程的两根，
故有k1+k2=

2x0(x02-2)

x02-1

．…（4分）
（2）设A(x1，x12)，B(x2，x22)，（x₁≠x₂）
由

y=k(x-x0)+x02 y=x2

，
得x2-kx+kx0-x02=0，
又方程有一根为x₀，
则另一根为k-x₀，
∴x₁=k₁-x₀，x₂=k₂-x₀，
∴kAB=

x12-x22

x1-x2

=x1+x2=k1+k2-2x0，
由（1）知kAB=

2x0(x02-2)

x02-1

-2x0=

-2x0

x02-1

，
又x₀≠0，所以kPM=

x02-2

x0

，

PM

•

AB

=0，
∴

-2x0

x02-1

•(

x02-2

x0

)=-1，
解得x02=3，
∴x0=±

3

…（9分）
（3）证明：由（1），（2）知k_AB=x₁+x₂，
当x₀=-2时，k1+k2=-

8

3

，k₁k₂=1，
∴kAB=k1+k2-2x0=

4

3

，x1x2=(k1-x0)(k2-x0)=k1k2-x0(k1+k2)+x02
=1+2×(-

8

3

)+4=-

1

3

，
而AB：y-x12=(x1+x2)(x-x1)，
即y=(x1+x2)x-x1x2=

4

3

x+

1

3

，
∴AB方程：4x-3y+1=0，
而圆C₂的圆心M（0，2），
点M到AB的距离是

|4×0-3×2+1|

42+32

=1，
圆C₂的半径为1，
∴AB与圆C₂相切．…（13分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线和圆的简单性质，根与系数的关系，点到直线的距离公式等基本知识．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．