题目内容

已知函数f(x)=
px2+2
q-3x
是奇函数，且f(2)=-
5
3
．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性．
（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以对定义域内的任意x，都有∴f（-x）=-f（x），
即
px2+2
q+3x
=-
px2+2
q-3x
（2分）
整理得q+3x=-q+3x，所以q=0．又因为f(2)=-
5
3
，
所以f(2)=
4p+2
-6
=-
5
3
，解得p=2．
故所求解析式为f(x)=
2x2+2
-3x
．（6分）
（Ⅱ）由（1）得f(x)=
2x2+2
-3x
=-
2
3
(x+
1
x
)．
设0＜x1＜x2＜1，则f(x1)-f(x2)=
2
3
[(x2+
1
x2
)-(x1+
1
x1
)]═
2
3
(x1-x2)×
1-x1x2
x1x2
．（10分）
因为0＜x1＜x2＜1，所以0＜x1x2＜1，x1-x2＜0，1-x1x2＞0，
从而得到f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
所以函数f（x）在（0，1）上是增函数．（14分）
练习册系列答案
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已知函数f(x)=
1
2
x2-alnx的图象在点P（2，f（2））处的切线方程为l：y=x+b
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1
e
，e]时（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求实数k的取值范围．
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-x3+x2+bx+c
 ，(x＜1)
alnx
 ，(x≥1)
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1
2
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tx
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已知函数f(x)=log3
3
x
1-x
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1
2
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OP
=
OM
+
ON
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（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
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n-1
n
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1
6
，n=1
1
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3
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1
a-1
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