Question

已知数列，与函数，，满足条件：

，.

（I）若，，，且存在，求的取值范围；并求（用表示）

（II）若函数为上的增函数，，，，证明对任意的，．

Answer 1

本小题主要考查数列的定义、数列的递推公式，等比数列，函数，不等式等基础知识，考查运用数学归纳法解决问题的能力。

（Ⅰ）解法一：由题设知得,又已知,可得

     

由可知，所以

是等比数列，其首项为，公式为，于是

又lim存在，可得，所以-2t2,且t0

解法二：由题设知,可得

    

由可知,所以是首项为,

公比为的等比数列。

，即

由可知，若存在，则存在，于是可得

所以－2<t<2,且

=2= 

解法三：由题设知,即

                       ①

于是有

                      ②

②-①得，得

 

由

所以{}是首项为,公比为的等比数列，于是

又

说明：数列{}通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以上评分标准。

（Ⅱ）证明：因为所以，即

下面用数学归纳法证明

(1)当n=1时，由为增函数，且，得

       

       

        ，

     即,结论成立

（2）假设时结论成立，即,由为增函数，得

    

    进而得

   

    这就是说当时，结论也成立

       根据（1）和（2）可知，对任意