Question

已知函数f（x）=ax²+bx-2（x∈R，a≠0），
（Ⅰ）判断函数f（x）=ax²+bx-2的奇偶性；
（Ⅱ）当a＜0时，方程f（x）=x的两实根x₁，x₂ 满足x₁＜1＜x₂＜2，求证：

b

a

＞-4．

Answer 1

分析：（1）对一次项系数b分类讨论，当b=0时，利用定义，进行判断，当b≠0时，利用奇偶性的定义进行判断，从而得到函数的奇偶性；
（2）根据题设，方程方程f（x）=x 的两实根x₁，x₂，转化为g（x）=ax²+（b-1）x-2=0有两个根x₁，x₂，满足x₁＜1，x₂＜2，利用二次函数根的分布，列出不等式组，求解即可得到所证结论．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²+bx-2（x∈R，a≠0），
当b=0时，f（x）=ax²-2，
∵f（-x）=a（-x）²-2=ax²-2，
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函数；
当b≠0时，f（x）=ax²+bx-2，
∴f（-x）=a（-x）²+b×（-x）-2=ax²-bx-2，
∴f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），
∴f（x）是非奇非偶函数．
综上所述，当b=0时，f（x）是偶函数，
当b≠0时，f（x）是非奇非偶函数．
（2）由方程f（x）=x，可得ax²+（b-1）x-2=0，
令g（x）=ax²+（b-1）x-2，
∵方程f（x）=x 的两实根x₁，x₂，则g（x）=0的两个根为x₁，x₂，且满足x₁＜1＜x₂＜2，
∵a＜0，
∴g（1）＞0，且g（2）＜0，
∴a+b-1-2＞0，且4a+2（b-1）-2＜0，②
即a+b-3＞0，①且2a+b-2＜0，②
由①×2+②×（-3），可得-4a-b＞0，
∵a＜0，
∴

b

a

＞-4．
故当a＜0时，方程f（x）=x的两实根x₁，x₂ 满足x₁＜1＜x₂＜2时，

b

a

＞-4．

点评：本题主要考查了函数奇偶性的判定，在判断奇偶性时一定要判断定义域是否对称，然后再利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性．同时考查了函数的零点与方程根的关系．函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．本题还涉及了二次函数的根的分布的问题，解题时要注意抓住开口方向、对称轴、区间端点的函数值进行求解．属于中档题．