题目内容

对于数列，），若为，，….，中最大值（，则称数列为数列的“凸值数列”。如数列2,1,3,7,5的“凸值数列”为2,2,3,7,7；由此定义，下列说法正确的有______

①递减数列的“凸值数列”是常数列；②不存在数列，它的“凸值数列”还是本身；

③任意数列的“凸值数列”递增数列；④“凸值数列”为1,3,3,9,的所有数列的个数为3.

 

【答案】

①④

【解析】根据新定义可知，

①递减数列的“凸值数列”是常数列；成立

②不存在数列，它的“凸值数列”还是本身；不成立

③任意数列的“凸值数列”递增数列；不成立

④“凸值数列”为1,3,3,9,的所有数列的个数为3. 成立，故填写①④

 

练习册系列答案
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对于数列{an}，定义{△an}为数列{an}的一等差数列，其中△an=an+1-an（n∈N*），
（1）若数列{an}通项公式an=
5
2
n2-
13
2
n(n∈N*)，求{△an}的通项公式；
（2）若数列{an}的首项是1，且满足△an-an=2n，①证明：数列{
an
2n
}为等差数列；②求{an}的前n项和Sn．
对于数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N*）；类似的，规定{△2an}为数列{an}的二阶差分数列，其中△2an=△an+1-△an（n∈N*）．
（Ⅰ）已知数列{an}的通项公式an=3n2-5n（n∈N*），试证明{△an}是等差数列；
（Ⅱ）若数列{an}的首项a1=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n（n∈N*），令bn=
an
2n
，求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记cn=
a1(n=1)
2n-1
△an
(n≥2，n∈N*
，求证：c1+
c2
2
+…+
cn
n
＜
17
12
．
已知：对于数列{an}，定义{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an，
（1）若数列{an}的通项公式an=
5
2
n2-
3
2
n（n∈N*），求：数列{△an}的通项公式；
（2）若数列{an}的首项是1，且满足△an-an=2n，
①设bn=
an
2n
，求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
②求：数列{an}的通项公式及前n项和Sn．
对于数列{an}，定义{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an，n∈N*；对k≥2，k∈N*，定义{△kan}为{an}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an．
（1）若数列{an}的通项公式为an=n2-6n，分别求出其一阶差分数列{△an}、二阶差分数列{△2an}的通项公式；
（2）若数列{an}首项a1=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n，求出数列{an}的通项公式an及前n项和Sn．

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