题目内容

已知函数f(x)=
1
2
cos2x+sinxcosx-
1
2
sin2x
（1）求f（x）的最小正周期、对称轴方程
（2）求f（x）的单调区间
（3）求f（x）在区间[-
π
8
，
π
2
]的最大值和最小值．
f(x)=
1
2
cos2x+sinxcosx-
1
2
sin2x=
1
2
cos2x+
1
2
sin2x=
2
2
sin(2x+
π
4
)
（1）T=
2π
2
=π
由得2x+
π
4
=
π
2
+kπ(k∈Z)∴对称轴为x=
π
8
+
1
2
kπ(k∈Z)
（2）由-
π
2
+2kπ≤2x+
π
4
≤
π
2
+2kπ(k∈Z)得-
3π
8
+kπ≤x≤
π
8
+kπ(k∈Z)
由
π
2
+2kπ≤2x+
π
4
≤
3π
2
+2kπ(k∈Z)得
π
8
+kπ≤x≤
5π
8
+kπ(k∈Z)
∴f（x）的单调增区间为[-
3π
8
+kπ，
π
8
+kπ](k∈Z)，
单调减区间为[
π
8
+kπ，
5π
8
+kπ](k∈Z)
（3）∵x∈[-
π
8
，
π
2
]∴-
π
4
≤2x≤π，则0≤2x+
π
4
≤
5π
4

当2x+
π
4
=
π
2
即x=
π
8
时，f（x）有最大值
2
2

当2x+
π
4
=
5π
4
即x=
π
2
时，f（x）有最小值-
1
2
练习册系列答案
相关题目
（1）、已知函数f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函数f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的图象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一个函数g（x）的图象，求g（x）的解析式．
已知函数f(x)=(1-
a
x
)ex，若同时满足条件：
①?x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
则实数a的取值范围是（　　）
已知函数f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函数在区间(a，a+
1
2
)上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求实数k的取值范围．
已知函数f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)与f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．
定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，求m的取值范围．

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