Question

（2014•江门模拟）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）求f（x）的最大值，并求f（x）取最大值时自变量x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，根据两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（2）根据正弦函数的值域确定出f（x）的最大值，以及此时x的值即可．

解答：解：（1）f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
（2）由（1）知f（x）的最大值M=

2

+1，
当f（x）=

2

+1时，sin（2x+

π

4

）=1，
∴2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，
即x=kπ+

π

8

，k∈Z，
则所求自变量x的集合为{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．