Question

（2008•黄冈模拟）抛物线y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1（n∈N⁺），交x轴于An，Bn两点，则|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₀₇B₂₀₀₇|的值为

2007

2008

．

Answer 1

分析：利用因式分解可将y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1化简为：y=（nx-1）[（n+1）x-1]，依题意可求得B_n（

1

n

，0），A_n（

1

n+1

，0），从而可求得|AnBn|=

1

n

-

1

n+1

，于是可求所求式子的答案．

解答：解：∵y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1=（nx-1）[（n+1）x-1]，
由y=0得：x=

1

n

或x=

1

n+1

．
∴B_n（

1

n

，0），A_n（

1

n+1

，0），
∴|AnBn|=

1

n

-

1

n+1

，
∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₀₇B₂₀₀₇|
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2007

-

1

2008

）
=1-

1

2008

=

2007

2008

．
故答案为：

2007

2008

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查函数的零点的应用，求得|AnBn|=

1

n

-

1

n+1

是关键，也是难点，属于中档题．