Question

S_n为等差数列{a_n}的前n项和，S₅＜S₆，S₆=S₇，S₇＞S₈，以下给出了四个结论：
①公差d＜0；
②a₇=0；
③S₁₀＞S₄； 
④使S_n取得最小值的n有两个．
其中正确的结论共有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：由已知S₅＜S₆，S₇＞S₈，得到a₆＞0，a₈＜0，联立可得公差d＜0，再由S₆=S₇，可得a₇=0，把S₁₀与S₄作差可得差式小于0，由数列是递减等差数列可知数列无最小值．

解答：解：设等差数列{a_n}的公差为d，
∵S₅＜S₆=S₇＞S₈，
∴S₆-S₅=a₆＞0，S₈-S₇=a₈＜0，
即a₆+2d＜0，
∴2d＜-a₆＜0，
∴d＜0，即①正确；
又S₆=S₇，
∴S₇-S₆=a₇=0，即②正确；
又S₁₀-S₄=a₅+a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀=3（a₇+a₈）=3（0+a₈）=3a₈＜0，
∴S₁₀＜S₄，故③错误；
由于数列{a_n}是递减的等差数列，∴S_n取不到最小值，∴④错误．
故选：B．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查等差数列的性质，求得d＜0，a₇=0是关键，属于中档题．