Question

（2010•连云港三模）已知数列{a_n}满足a₁=1，an=an-1+

1

an-1

(n≥2，n∈N*)．求证：

2n-1

＜an＜

3n-1

．

Answer 1

分析：本题考查的是数列与不等式的综合类问题．解答时应用数学归纳法，首先验证当n=2时，然后假设当n=k（k≥2，k∈N*）时，不等式成立，再分析当n=k+1时的情况，此时要注意一定要用上假设．最后下好结论即可．

解答：证明：记所证不等式为（*）式，用数学归纳法证明如下：
（1）当n=2时，∵a₁=1∴a2=a1+

1

a1

=2
∵

3

＜a2＜

5

∴（*）式成立．
（2）假设当n=k（k≥2，k∈N*）时，（*）式成立，
即有

2k-1

＜ak＜

3k-1

那么，当n=k+1时，
令y=x+

1

x

（x＞1）∵y′=1-

1

x2

＞0∴y=x+

1

x

在（1，+∞）上是单调增函数，
而(

2k-1

 ， 

3k-1

)⊆(1 ， +∞)
∴

2k-1

+

1

2k-1

＜ak+

1

ak

＜

3k-1

+

1

3k-1

即

2k-1

+

1

2k-1

＜ak+1＜

3k-1

+

1

3k-1

先证

2k+1

＜

2k-1

+

1

2k-1

①
两边同乘

2k-1

，即证

4k2-1

＜2k-1+1
即证4k²-1＜4k²上式成立，∴①式成立．
再证

3k-1

+

1

3k-1

＜

3k+2

②
两边同乘

3k-1

即证3k-1+1＜

(3k-1)(3k+2)

即证9k²＜9k²+3k-2∵k≥2∴上式成立，则②式成立．
则

2k+1

＜ak+1＜

3k+2

∴当n=k+1时，（*）式也成立，
根据（1），（2）知，（*）式成立．

点评：本题考查的是数列与不等式的综合类问题．解答时的过程当中充分体现了数学归纳法的思想、计算的能力以及问题转化的能力．值得同学们体会反思．