题目内容

已知数列{an}满足
1
a1
+
2
a2
+…+
n
an
=
3
8
(32n-1)，n∈N*
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设bn=1og3
an
n
，求数列{
bn
2n
}的前n项和．
分析：（I）由题设条
1
a1
=3，
n
an
=（
1
a1
+
2
a2
+…+
n
an
）-（
1
a1
+
2
a2
+…+
n-1
an-1
）=32n-1，由此能求出an．
（Ⅱ）由bn=log3
an
n
=-（2n-1）=1-2n，知
bn
2n
=
1-2n
2n
．由此利用错位相减法能求出数列{
bn
2n
}的前n项和Sn．
解答：解：（I）∵数列{an}满足
1
a1
+
2
a2
+…+
n
an
=
3
8
(32n-1)，n∈N*，
∴
1
a1
=
3
8
（32-1）=3，…（1分）
当n≥2时，∵
n
an
=（
1
a1
+
2
a2
+…+
n
an
）-（
1
a1
+
2
a2
+…+
n-1
an-1
）
=
3
8
（32n-1）-
3
8
（32n-2-1）=32n-1，…（5分）
当n=1，
n
an
=32n-1也成立，所以an=
n
32n-1
．…（6分）
（Ⅱ）∵bn=log3
an
n
=-（2n-1）=1-2n，…（7分）
∴
bn
2n
=
1-2n
2n
．
∴数列{
bn
2n
}的前n项和Sn=
1-2
2
+
1-2×2 
22
+
1-2×3
23
+…+
1-2n
2n
，
1
2
Sn=
1-2
22
+
1-2×2
23
+
1-2×3
24
+…+
1-2n
2n+1
，
∴
1
2
Sn=-
1
2
-（
1
2
+
1
4
+
1
8
+…+
1
2n-1
）-
1-2n
2n+1

=-
1
2
-
1
2
(1-
1
2n-1
)
1-
1
2
-
1-2n
2n+1

=-
1
2
-1+
1
2n-1
-
1-2n
2n+1
，
∴Sn=
4
2n
-
1-2n
2n
-3=
32n
2n
-3．
点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法和错位相减法的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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