题目内容

已知函数f（x）=ax3-3x+1对x∈（0，1]总有f（x）≥0成立．则实数a的取值范围是
[4，+∞）
[4，+∞）
．
分析：先分离参数，再构建函数，利用导数，确定函数的最大值，即可求得实数a的取值范围．
解答：解：当x∈（0，1]时，不等式ax3-3x+1≥0可化为a≥
3x-1
x3
，
设g（x）=
3x-1
x3
，x∈（0，1]，
g′（x）=
3x3-(3x-1)×3x2
x6
=-
6(x-
1
2
)
x4
，
g′（x）与g（x）随x变化情况如下：

因此g（x）的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，+∞）．
故答案为：[4，+∞）
点评：本题考查恒成立问题，考查导数知识的运用，解题的关键是分离参数，构建函数，确定函数的最大值．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=
a-x2
x
+lnx  (a∈R ， x∈[
1
2
 ， 2])
（1）当a∈[-2，
1
4
)时，求f（x）的最大值；
（2）设g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（2009•海淀区二模）已知函数f（x）=a-2x的图象过原点，则不等式f(x)＞
34
的解集为
（-∞，-2）
（-∞，-2）
．
已知函数f（x）=a|x|的图象经过点（1，3），解不等式f(
2x
)＞3．
已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0
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已知函数f（x）=a-2|x|+1（a≠0），定义函数F（x）=
f(x)   ，  x＞0
-f(x) ，    x＜0
 给出下列命题：①F（x）=|f（x）|； ②函数F（x）是奇函数；③当a＜0时，若mn＜0，m+n＞0，总有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正确命题的序号是
 
．

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