Question

已知函数f（x）=sin2x+2cos²x+m在区间[0，]上的最大值为6
（1）求常数m的值及函数f（x）图象的对称中心；
（2）作函数f（x）关于y轴的对称图象得函数f₁（x）的图象，再把函数f₁（x）的图象向右平移个单位得函数f₂（x）的图象，求函数f₂（x）的单调递减区间．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二倍角公式，两角和的正弦函数化简函数的表达式，通过函数f（x）=sin2x+2cos²x+m在区间[0，]上的最大值为6，求出m的值．即可求出函数的对称中心．
（2）求出函数f₁（x）的表达式，再把函数f₁（x）的图象向右平移个单位得函数f₂（x）的图象对应的表达式，利用余弦函数的单调减区间求函数f₂（x）的单调递减区间．
解答：解：（1）函数f（x）=sin2x+2cos²x+m=sin2x+cos2x+1+m=2sin（2x+）+1+m，函数f（x）=sin2x+2cos²x+m在区间[0，]上的最大值为6，所以m=3，函数的表达式为f（x）=2sin（2x+）+4；它的对称中心为（，0），k∈Z．
（2）函数f（x）关于y轴的对称图象得函数f₁（x）=2sin（-2x+）+4的图象，函数f₁（x）的图象向右平移个单位得函数f₂（x）=2sin（-2x++）+4=2cos（2x-）+4的图象；
函数f₂（x）的单调递减区间为：2kπ≤2x-≤2kπ+π，kπ≤x≤kπ+  k∈Z．
点评：本题是中档题，考查函数的最值，对称中心的求法，函数图象的变换，考查计算能力．