Question

（本小题满分14分）已知函数f(x)= ().

（1）求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数；   （2）若f(x)≤2x在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围；

（3）如果函数自变量取值区间，其值域区间也为，则称区间为的保值区间。已知f(x)的保值区间为［m,n］(m≠n)，求实数a的取值范围.

Answer 1

（1）证明：任取x₁＞x₂＞0,f(x₁)–f(x₂)=

∵x₁＞x₂＞0,∴x₁x₂＞0，x₁–x₂＞0, ∴f(x₁)–f(x₂)＞0，即f(x₁)＞f(x₂)，故f(x)在(0,+∞)上是增函数.

（2）解：∵≤2x在(0,+∞)上恒成立，且a＞0,  ∴在（0，+∞）上恒成立，

令,  当x∈（0，+∞）时，

又a＞0，解得a≥.       故a的取值范围是［,+∞］.

(3)解：∵ f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴m=f(m),n=f(n)，  即m²–m+1=0，    n²–n+1=0

故方程x²–x+1=0有两个不相等的正根m，n，   由韦达定理可得  m·n=1，

故只需要Δ=()²–4＞0,  由于a＞0，   则0＜a＜