Question

（本小题满分13分）

设动点到定点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）设圆过，且圆心在曲线上，是圆在轴上截得的弦，试探究当运动时， 是否为定值？为什么？

Answer 1

 （本小题满分13分）

解:（Ⅰ）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线.

　 ∵,      ∴.　

∴　曲线方程是.                     …………………………6分

（Ⅱ）设圆的圆心为，∵圆过，

 ∴圆的方程为　　

令得：　　

设圆与轴的两交点分别为，

方法1：不妨设，由求根公式得

，.      …………………8分

∴

又∵点在抛物线上，∴，             ………………10分

∴　，即＝4.

∴当运动时，弦长为定值4.                       ………………14分

　方法2：∵，　                 ………………8分

∴

　又∵点在抛物线上，∴， ∴　　

∴当运动时，弦长为定值4.                         ………………13分