题目内容
设f（x）=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f（
）|对一切x∈R恒成立，则
①f（
）=0．
②|f（
）|＜|f（
）|．
③f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
④f（x）的单调递增区间是[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）．
以上结论正确的是
| π |
| 6 |
①f（
| 11π |
| 12 |
②|f（
| 7π |
| 10 |
| π |
| 5 |
③f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
④f（x）的单调递增区间是[kπ+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
以上结论正确的是
①③
①③
（写出正确结论的编号）．分析：由f（x）≤|f（
）|可知x=
是函数f（x）的对称轴，然后根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
解答：解：则f（x）=asin2x+bcos2x=
sin(2x+θ)，其中cos?θ=
，sin?θ=
，
若f（x）≤|f（
）|可知x=
是函数f（x）的对称轴，
∴2×
+θ=
+kπ，则θ=
+kπ，k∈Z，
∴f(x)=
sin?(2x+
+kπ)=±
sin?(2x+
)，
①f（
）=±
sin?(2×
+
)=±
sin?2π=0，成立．
②|f（
）|=|±
sin?(2×
+
)|=
|sin?(
+
)|═
|sin?(
+
)|
|f（
）|=|±
sin?(2×
+
)|=
|sin?(
+
)|，
∴|f（
）|=|f（
）|，∴②错误．
③由函数表达式可知f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），∴f（x）既不是奇函数也不是偶函数，∴③正确．
④∵f(x)=
sin?(2x+
+kπ)=±
sin?(2x+
)，表达式不确定，
∴函数的单调递增区间不确定，∴④错误．
故答案为：①③．
| a2+b2 |
| a | ||
|
| b | ||
|
若f（x）≤|f（
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∴2×
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
∴f(x)=
| a2+b2 |
| π |
| 6 |
| a2+b2 |
| π |
| 6 |
①f（
| 11π |
| 12 |
| a2+b2 |
| 11π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| a2+b2 |
②|f（
| 7π |
| 10 |
| a2+b2 |
| 7π |
| 10 |
| π |
| 6 |
| a2+b2 |
| 7π |
| 5 |
| π |
| 6 |
| a2+b2 |
| 2π |
| 5 |
| π |
| 6 |
|f（
| π |
| 5 |
| a2+b2 |
| π |
| 5 |
| π |
| 6 |
| a2+b2 |
| 2π |
| 5 |
| π |
| 6 |
∴|f（
| 7π |
| 10 |
| π |
| 5 |
③由函数表达式可知f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），∴f（x）既不是奇函数也不是偶函数，∴③正确．
④∵f(x)=
| a2+b2 |
| π |
| 6 |
| a2+b2 |
| π |
| 6 |
∴函数的单调递增区间不确定，∴④错误．
故答案为：①③．
点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．
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