Question

已知函数f(x)=-2sin2x+2

3

sinxcosx+1．
（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；
（2）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先通过两角和公式对函数解析式进行化简，得f（x）=2sin（2x+

π

6

），根据正弦函数的周期性和对称性可的f（x）的最小正周期及对称中心．
（2）根据正弦函数的单调性及x的取值范围进而求得函数的最值．

解答：解：（1）f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π，
令sin(2x+

π

6

)=0，则x=

kπ

2

-

π

12

(k∈Z)，
∴f（x）的对称中心为(

kπ

2

-

π

12

，0)，(k∈Z)；
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
∴-1≤f（x）≤2
∴当x=-

π

6

时，f（x）的最小值为-1；
当x=

π

6

时，f（x）的最大值为2．

点评：本题主要考查了正弦函数的性质．三角函数的单调性、周期性、对称性等性质是近几年高考的重点，平时应加强这方面的训练．