Question

（本小题满分12分）

如图，棱柱的所有棱长都为2，则棱与底面所成的角为，平面为的中点.

（1）证明：；

（2）证明：平面；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

解（1）因为棱柱的所有棱长都为2，所以四边形为菱形，.      ……1分

又平面平面，

所以.

又因为平面，

所以平面，

因为平面，

所以.                    ……………………3分

（2）连结因为四边形为菱形，，

所以是的中点

又因为点为的中点，

所以在中，，

因为平面，平面，

所以平面.         …………………………6分

（3）以为坐标系的原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.因为侧棱与底面所成角为，平面.

     所以，在中，可得，

     在中，.

     .    ………………8分

     设平面的法向量为

       

所以

       

因为=（-1，0，），.

     

       ，

可设，

又因为平面，所以平面的法向量为

，        ………………11分

因为二面角为锐角，

故二面角的余弦值是.    ……………………12分