Question

x＋1)．

(1)求f(0)，f(1)；

(2)求函数f(x)的解析式；

(3)若f(a－1)<－1，求实数a的取值范围．

Answer 1

解析：　(1)因为当x≤0时，f(x)＝ (－x＋1)，

所以f(0)＝0.

又函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝ [－(－1)＋1]＝2＝－1，即f(1)＝－1.

(2)令x>0，则－x<0，

从而f(－x)＝ (x＋1)＝f(x)，

∴x>0时，f(x)＝ (x＋1)．

(3)设x₁，x₂是任意两个值，且x₁<x₂≤0，

则－x₁>－x₂≥0，

∴1－x₁>1－x₂>0.

∵f(x₂)－f(x₁)＝ (－x₂＋1)－ (－x₁＋1)＝>1＝0，

∴f(x₂)>f(x₁)，

∴f(x)＝ (－x＋1)在(－∞，0]上为增函数．

又f(x)是定义在R上的偶函数，

∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．

∵f(a－1)<－1＝f(1)，∴|a－1|>1，解得a>2或a<0.

故实数a的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．