Question

已知函数f（x）=，a∈R．
（1）若f（x）在（0，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围
（II）若f（x）≥lnx恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

解：（I）由条件得f′（x）=ax²-x≤0在x＞0上恒成立，
即a≤在x＞0上恒成立，∴a≤0 …（5分）
（II）问题等价于a≥恒成立，
设g（x）=，
则：g′（x）==…（10分）
设h（x）=x²-1+6lnx（x＞0），则h（x）是增函数，且h（1）=0
∴由g′（x）＜0，可得h（x）＞0，即x＞1，由g′（x）＞0，可得h（x）＜0，即0＜x＜1，
∴g（x）_max=g（1）=2，
故a≥2，因此a_min=2…（15分）
分析：（I）问题等价于f′（x）=ax²-x≤0在x＞0上恒成立，分离a易得答案；
（II）问题等价于a≥恒成立，构造函数g（x）=，通过求导数可得g（x）_max=g（1）=2，从而可得答案．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及函数的恒成立问题，属中档题．