Question

已知抛物线x²=2py（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在A，B两点处的切线相交于点Q．
（Ⅰ）求

OA

•

OB

的值；
（Ⅱ）求点Q的纵坐标；
（Ⅲ）证明：|

QF

|2=|

AF

|•|

BF

|．

Answer 1

分析：（I）设直线l的方程为y=kx+

p

2

．将它与抛物线的方程联立组成方程组，消去y得到关于x的二次方程，再结合根与系数的关系即可求出

OA

•

OB

的值；
（II）利用导数几何意义求出切线的斜率，从而求得切线的方程，最后联立直线的方程组成方程组求出交点Q的坐标即可；
（III）欲证明：|

QF

|2=|

AF

|•|

BF

|．分别求出左式和右式，看它们是否相等即可．为了求得左右两式，须结合（1）中的方程中根与系数的关系，以及（2）求得和Q的坐标求解即可．

解答：（Ⅰ）解：∵F(0，

p

2

)，
∴设直线l的方程为y=kx+

p

2

．
由

y=kx+ p 2 x2=2py

可得x²-2pkx-p²=0．（2分）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²．（3分）
y1•y2=(kx1+

p

2

)•(kx2+

p

2

)=k2x1x2+

kp

2

(x1+x2)+

p2

4

=-k2p2+k2p2+

p2

4

=

p2

4

（4分）
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=-

3

4

p2．（5分）
（Ⅱ）解：由x²=2py，可得y=

x2

2p

，
∴y′=

x

p

．
∴抛物线在A、B两点处的切线的斜率分别为

x1

p

，

x2

p

．
∴在点A处的切线方程为y-y1=

x1

p

(x-x1)，即y=

x1

p

x-

x12

2p

．（7分）
同理在点处B的切线方程为y=

x2

p

x-

x22

2p

．
解方程组

y= x1 p x- x12 2p y= x2 p x- x22 2p

可得

x=pk y=- p 2 .

即点Q的纵坐标为-

p

2

．（9分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，Q(pk，-

p

2

)，
∴|

QF

|2=(0-pk)2+(

p

2

+

p

2

)2=(1+k2)p2，（11分）
又y1+y2=kx1+

p

2

+kx2+

p

2

=k(x1+x2)+p=p(1+2k2)，
∴|

AF

|•|

BF

|=(y1+

p

2

)(y2+

p

2

)=y1y2+

p

2

(y1+y2)+

p2

4

=

p2

4

+

p

2

•(1+2k2)p+

p2

4

=（1+k²）p²．
∴|

QF

|2=|

AF

|•|

BF

|．（13分）

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质、直线与圆锥曲线的综合问题等知识．属于中档题．