Question

已知f(x)=-x2+ax-

a

4

+

1

2

，x∈[0，1]，求f（x）的最大值g（a），且求g（a）的最小值．

Answer 1

分析：根据二次函数的图象与性质，先求出f（x）的最大值g（a），再求函数g（a）的最小值．

解答：解：∵f（x）=-x²+ax-

a

4

+

1

2

=-（x-

a

2

）²+

a2

4

-

a

4

+

1

2

，
对称轴是x=

a

2

，又∵x∈[0，1]，
∴（1）当

a

2

≤0，即a≤0时，f（x）在[0，1]上是减函数，∴f（x）_max=f（0）=-

a

4

+

1

2

；
（2）当0＜

a

2

＜1，即0＜a＜2时，f（x）在[0，1]上从左向右先增后减，∴f（x）_max=f（

a

2

）=

a2

4

-

a

4

+

1

2

；
（3）当

a

2

≥1，即a≥2时，f（x）在[0，1]上是增函数，∴f（x）_max=f（1）=

3a

4

-

1

2

．
∴f（x）的最大值g（a）=

- a 4 + 1 2    (a≤0) a2 4 - a 4 + 1 2   (0＜a＜1) 3a 4 - 1 2    (a≥2)

；
∴①当a≤0时，-

a

4

+

1

2

≥

1

2

；
②当0＜a＜2时，

a2

4

-

a

4

+

1

2

=

1

4

（a-

1

2

）²+

7

16

≥

7

16

；
③当a≥2时，

3a

4

-

1

2

≥1．
∴g（a）的最小值是g（a）_min=

7

16

．

点评：本题考查了二次函数的图象与性质，也考查了分类讨论的思想，是易错题．