Question

（2013•河池模拟）已知椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），O为原点，F为右焦点，点M是椭圆右准线l上（除去与x轴的交点）的动点，过F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，则线段ON的长为（　　）

A．c

B．b

C．a

D．不确定

Answer 1

分析：首先结合题意利用点斜式写出直线FN的方程，并且进行整理，设N（x，y），再由ON⊥NM，即斜率之积等于-1得到一个关于x，y的等式，进而把直线FN的方程代入此等式化简，可得x²+y²=a²，即可得到线段ON的长．

解答：解：由题意可得设F（c，0），点M（

a2

c

，m），
∴k_OM=

mc

a2

，
由题意可得：OM⊥FN，
∴FN的方程为：y-0=

-a2

mc

（x-c），
∴整理方程可得：my=

-a2

c

（x-c），即my+

a2

c

x=a²①，
∵过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，
∴ON⊥NM，即K_ON•K_NM=-1，
设N（x，y），
∴

y

x

•

y-m

x- a2 c

=-1，整理可得：x²+y²=

a2

c

x+my  ②，
联立①②得：x²+y²=

a2

c

x+my=a²，
∴|ON|=

x2+y2

=a．
故选C．

点评：本题主要考查椭圆的简单性质与直线和圆的位置关系的应用，以及考查形式的运算能力与分析问题解决问题的能力，此题在运算方面有一定的技巧，因此在计算时要灵活，此题属于中档题．