题目内容
(本小题满分12分)已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数.(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论.(2) 对任意n ?? a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n)
(Ⅰ) f n ( x )在（0，+∞）单调递减 (Ⅱ) 略
解析:
： (1) fn `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,
∵a > 0 , x > 0, ∴ fn `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分
（2）由上知：当x > a>0时, fn ( x ) = xn – ( x + a)n是关于x的减函数,
∴ 当n ?? a时, 有：(n + 1 )n– ( n + 1 + a)n ?? n n – ( n + a)n. 2分
又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [xn –( x+ a )n ] ,∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ]
< ( n + 1 )[ nn – ( n + a)n] = ( n + 1 )[ nn – ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分
( n + 1 )fn`(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分
∵( n + a ) > n ∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n) . 2分
，且
。①求
的最大值及最小值；②求
、
、
.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：
