题目内容
【题目】一个口袋中有
个白球和
个红球（
，且
），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．
(1)试用含
的代数式表示一次摸球中奖的概率
；
(2)若
，求三次摸球恰有一次中奖的概率；
(3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为
，当
为何值时，
取最大值.
【答案】（1）
，（2）
，(3) 
.
【解析】
试题分析：（1）求古典概型概率，关键正确计算事件所包含的基本事件. 一次摸球从
个球中任选两个，有
种选法，其中两球颜色相同有
种选法；因此一次摸球中奖的概率
.（2）因为每次摸球后把这两个球放回袋中，所以事件为独立重复试验. 由（1）得一次摸球中奖的概率是
，所以三次摸球恰有一次中奖的概率是
.(3)同（2）可得三次摸球中恰有一次中奖的概率是
，这是三次函数，利用导数求最值. 由
知
在
是增函数，在
是减函数，所以当
时，
取最大值.
试题解析：(1)一次摸球从个球中任选两个，有种选法，
其中两球颜色相同有种选法；
∴一次摸球中奖的概率. 4分
(2)若
，则一次摸球中奖的概率是，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是. 8分
(3)设一次摸球中奖的概率是
，
则三次摸球中恰有一次中奖的概率是，
∵，
∴在是增函数，在是减函数，
∴当时，取最大值. 10分
由
.
∴时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大． 12分
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