Question

定义在R上的函数f （x）满足：如果对任意x₁，x₂∈R，都有f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x1)+f(x2)]，则称函数f （x）是R上的凹函数，已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0），
（1）当a=1时，试判断函数f （x）是否为凹函数，并说明理由；
（2）如果函数f （x）对任意的x∈[0，1]时，都有|f（x）|≤1，试求实数a的范围．

Answer 1

（1）a=1时，函数f（x）是凹函数，
此时f（x）=x²+x，f(

x1+x2

2

)=（

x1+x2

2

）²+（

x1+x2

2

），

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

[x₁²+x₁+x₂²+x₂]，
作差得到：f(

x1+x2

2

)²-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]
=（

x1+x2

2

）²+（

x1+x2

2

）-

1

2

（x₁²+x₂²）-

1

2

（x₁+x₂）
=

x 21 +2x1x2+ x 22

4

-

2 x 21 +2 x 22

4

=

- x 21 +2x1x2- x 22

4

=-(

x1+x2

2

)2≤0，
即有f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，
故知函数f（x）=x²+x为凹函数；
（2）由-1≤f（x）=ax²+x≤1，
则有

ax2+x≥-1 ax2+x≤1

?

ax2≥-x-1 ax2≤-x+1.

i）若x=0时，则a∈R恒成立，
ii）若x∈（0，1]时，有

a≥- 1 x - 1 x2 a≤- 1 x + 1 x2

?

a≥-( 1 x + 1 2 )2+ 1 4    (1) a≤( 1 x - 1 2 )2- 1 4 .   (2)

∵0＜x≤1?

1

x

≥1．
∴当

1

x

=1时，a≥-(1+

1

2

)2+

1

4

=-2a≤(1-

1

2

)2-

1

4

=0
所以0≥a≥-2．