题目内容

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足：①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3；②f（1）=4；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-3．
（I）求f（0）的值；
（II）求函数f（x）的最大值；
（III）设数列 $数学公式$ ，求证： $数学公式$ ．

（Ⅰ）解：令x₁=x₂=0，则有f（0）≥2f（0）-3，即f（0）≤3
又对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，
∴f（0）=3　（3分）
（Ⅱ）解：任取x₁，x₂∈[0，1]，x₁＜x₂，
f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-3
∵0≤x₁＜x₂≤1，则0＜x₂-x₁＜1，
∴f（x₂-x₁）≥3
∴f（x₂）≥f（x₁）+3-3=f（x₁），即f（x）在[0，1]上递增．
∴当x∈[0，1]时，f（x）≤f（1）=4
∴f（x）的最大值为4　　　（6分）
（Ⅲ）证明：当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=- $\text{[math]}$ （a_n-3）- $\text{[math]}$ （a_n-1-3），
∴ $\text{[math]}$
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列．
∴a_n= $\text{[math]}$ （8分）
f（1）=f[3^n-1 $\text{[math]}$ ]=f[ $\text{[math]}$ +（3^n-1-1）× $\text{[math]}$ ]≥f（ $\text{[math]}$ ）+f[（3^n-1-1）× $\text{[math]}$ ]-3≥…
即 4≥3^n-1f（ $\text{[math]}$ ）-3ⁿ+3．（10分）
∴f（ $\text{[math]}$ ）≤ $\text{[math]}$ ，即f（a_n）≤3+ $\text{[math]}$ ．
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）≤（3+ $\text{[math]}$ ）+（3+ $\text{[math]}$ ）+…+（3+ $\text{[math]}$ ）
=3n+ $\text{[math]}$ =3n+ $\text{[math]}$ ＜3n+ $\text{[math]}$ =3（n+ $\text{[math]}$ ）．
又 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ log₃3³•3^2n-2= $\text{[math]}$ （2n+1）=3（n+ $\text{[math]}$ ），
∴原不等式成立．（14分）
分析：（Ⅰ）直接取x₁=0，x₂=0利用f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-3可得：f（0）≤3，再结合已知条件f（0）≥3即可求得f（0）=3；
（Ⅱ）由0≤x₁＜x₂≤1，则0＜x₂-x₁＜1，故有f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-3＞f（x₁），即f（x）在[0，1]内是增函数，故函数f（x）的最大值为f（1）；
（Ⅲ）先证明数列{a_n}是以a₁=1为首项，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，进而可得f（1）=f[3^n-1 $\text{[math]}$ ]=f[ $\text{[math]}$ +（3^n-1-1）× $\text{[math]}$ ]≥f（ $\text{[math]}$ ）+f[（3^n-1-1）× $\text{[math]}$ ]-3≥…，即 4≥3^n-1f（ $\text{[math]}$ ）-3ⁿ+3，即f（a_n）≤3+ $\text{[math]}$ ，从而可证不等式．
点评：本题主要是在新定义下对抽象函数进行考查，在做关于新定义的题目时，一定要先研究定义，在理解定义的基础上再做题．解题时要认真审题，合理运用条件．