Question

等差数列{a_n}的前n项和分别为S_n=An²+n，且S₂=6；函数y=g(x)是函数f(x)=2x的反函数，且c_n=g(c_n-1)(n∈N，n＞1)，c₁=1．

(1)求常数A的值及函数y=g(x)的解析式；

(2)求数列{a_n}及{c_n}的通项公式；

(3)若d_n=，试求d₁+d₂+…+d_n．

Answer 1

解：(1)由S₂=6知：4A+2=6  解得A=1

令y=2x  得x=，即g(x)=  

(2)当n=1时，a₁=S_l=2，

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[(n-1)²+(n-1)]=2n

综合之：a_n=2n

由题意得:c_n=c_n-1

∴数列{c_n}是为公比，以c₁=1为首项的等比数列.

∴c_n=()^n-1

（3）当n=2k+1时，d₁+d₂+…+d_n

=(a₁+a₃+…+a_2k+1)+(c₂+c₄+…+c_2k)

=2(k+1)²+[1-()^k]

=2()²+[1-]

当n=2k时，d₁+d₂+…+d_n

=（a₁+a₃+…+a_2k-1）+(c₂+c₄+…+c_2k)

=(2k+1)k+[1-()^k]

=

综合之：d₁+d₂+…+d_n

=