Question

某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏．为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）．该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励0．5 慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加1倍），游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案．

（Ⅰ）设闯过n （ n∈N，且n≤12）关后三种奖励方案获得的慧币依次为，，，试求出An，，的表达式；

（Ⅱ）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？

Answer 1

（Ⅰ）An=40n；Bn＝2n2+2n，（Ⅱ）当你能冲过的关数小于10时，应该选用第一种奖励方案；

当你能冲过的关数大于等于10时，应该选用第三种奖励方案

【解析】

试题分析：（1） 等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前项和公式时，必要时要分类讨论，有时还应善于运用整体代换的思想简化运算过程； （2）解决实际问题时，注意分类讨论的思想应用;（3） 数列知识在生产实际中的具体运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，仔细分析题设中的数量关系，合理地进行等价转化．

试题解析：（Ⅰ）∵第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列，且各项均为40，

∴An=40n．

第二种奖励方案闯过各项各关所得慧币构成首项是4，公差也为4的等差数列，

∴Bn＝4n+＝2n2+2n，

第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是0．5，公比为2的等比数列，

∴Cn＝．

（Ⅱ）令An＞Bn，即40n＞2n2+2n，解得n＜19．

∵n∈N*，且n≤12，∴An＞Bn恒成立．

令An＞Cn，即40n＞，解得n＜10．

∴当n＜10时，An最大；当10≤n≤12时，Cn＞An．

综上所述，若你是一名闯关者，当你能冲过的关数小于10时，应该选用第一种奖励方案；

当你能冲过的关数大于等于10时，应该选用第三种奖励方案

考点：等比数列通项公式及分类讨论思想