Question

在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=AA₁=1，D、E分别为棱AB、BC的中点，M为棱AA₁上的点．
（1）证明：A₁B₁⊥C₁D；
（2）当AM=时，求二面角M﹣DE﹣A的大小．

Answer 1

（1）证明：以C为坐标原点建立空间直角坐标系C﹣xyz，则
A₁（1，0，1），B₁（0，1，1），C₁（0，0，1），D（，，0），
=（﹣1，1，0），=（，，﹣1），
则=0．
所以⊥=0．
所以A₁B₁⊥C₁D；  
（2）解：，
设=（x，y，z）为平面MDE的一个法向量．
则
即，
令y=，则x=0，z=1，
所以=（0，，1）
又=（0，0，1）为平面DEA的一个法向量，
所以cos＜，＞==
所以二面角M﹣DE﹣A的大小为．