Question

已知函数f（x）=

3-x

x2+2x+1

，g（x）=

1

3

ax³-a²x（a≠0）
（1）当x∈[0，3]时，求f（x）的值域．
（2）对任意的x₁、x₂∈[0，3]，使f（x₁）+f（x₂）=g（x₃）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）化简函数，利用配方法，可得f（x）的值域．
（2）f（x₁）+f（x₂）的范围是[0，6]，则y=g（x）的值域包含[0，6]，对g（x）求导，确定函数的单调性，即可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）f(x)=

-(x+1)+4

(x+1)2

=4(

1

x+1

)2-(

1

x+1

)=4(

1

x+1

-

1

8

)2-

1

16

∵0≤x≤3，∴

1

4

≤

1

x+1

≤1，∴0≤f（x）≤3
∴f（x）的值域为[0，3]；
（2）f（x₁）+f（x₂）的范围是[0，6]，则y=g（x）的值域包含[0，6]
∵g（x）=

1

3

ax³-a²x，∴g′（x）=a（x²-a），x∈[0，3]，
a＜0时，g′（x）＞0，∴

a

＜x≤3；g′（x）＜0，∴0≤x＜

a

∴g（x）在[0，

a

）上单调递减，在（

a

，3]上单调递增
显然g（

a

）＜g（0）=0
由题意可知，g（3）≥6，即a²-3a+2≤0，∴1≤a≤2
a≥9时，g′（x）≤0，∴g（x）在[0，3]上单调递减，g（x）≤g（0），不合题意
综上，1≤a≤2．

点评：本题考查函数的值域，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．