Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且对任意的正整数n有a_n+3≥a_n+3，a_n+1≤a_n+1成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}，{b_n}满足an=

b1+2b 2+3b3+…+nbn

1+2+3+…+n

，求证：数列{b_n}是等差数列；
（3）若数列{c_n}，{d_n}满足dn=

c1+2c 2+3c3+…+ncn

1+2+3+…+n

，求证：数列{c_n}成等差数列的充要条件是数列{d_n}等差数列．

Answer 1

分析：（1）由已知的两个不等式变形后得到a_n+3≥a_n+1+2，结合a_n+3≥a_n+3，得到a_n+1与a_n的关系，从而求出数列{a_n}的通项公式；
（2）把已知等式的分母化简后乘到等式左边，把式子中的n用n-1替换写出另外一个式子，两式作差即可得到要证的结论；
（3）同（2）一样，化简后得到关于c_n和d_n的表达式，然后运用等价思想加以证明．

解答：解：（1）因为a_n+1≤a_n+1，且a_n+3≥a_n+3，
所以a_n+3≤a_n+3≤a_n+2+1≤a_n+1+1+1≤a_n+1+1+1=a_n+3，
所以a_n+3=a_n+3①
则a_n+4=a_n+1+3②
①-②得：a_n+4-a_n+3=a_n+1-a_n
在该式中依次取n=1，2，3，4，5，6…
可得a₂-a₁=a₃-a₂=a₄-a₃=…=a_n+1-a_n
所以数列{a_n}构成等差数列，由a_n+3=a_n+3得a_n+3d=a_n+3，
所以d=1．
所以数列{a_n}是以a₁=1为首项，以1为公差的等差数列，
所以a_n=a₁+（n-1）d=1+n-1=n；
证明：（2）由an=

b1+2b 2+3b3+…+nbn

1+2+3+…+n

，
得：

n(n+1)

2

an=b1+2b2+…+nbn，
所以

n2(n-1)

2

=b1+b2+…+nbn③，
则

(n-1)2n

2

=b1+b2+…+(n-1)bn-1④，
③-④得：nbn=

n

2

(n2-n-n2+2n-1)，
所以bn=

1

2

(n-1)，
由bn+1-bn=

1

2

n-

1

2

(n-1)=

1

2

，
所以数列{b_n}是等差数列．
（3）由dn=

c1+2c 2+3c3+…+ncn

1+2+3+…+n

，
得

n(n+1)

2

dn=c1+2c2+3c3+…+ncn⑤，
所以

n(n-1)

2

dn-1=c1+2c2+3c3+…+(n-1)cn-1⑥，
⑤-⑥得：ncn=

n

2

(ndn+dn-ndn-1+dn-1)，
若数列{d_n}是等差数列，设其公差为m，则上式等价于
ncn=

n

2

(nm+2dn-m)，
?cn=

3

2

mn+d1-

3m

2

?cn+1-cn=

3

2

m．
所以若数列{c_n}，{d_n}满足dn=

c1+2c 2+3c3+…+ncn

1+2+3+…+n

，则数列{c_n}成等差数列的充要条件是数列{d_n}等差数列．

点评：本题考查了等差关系的确定，考查了错位相减法，解答此类问题的关键是模仿已知的等式再写出一个类似的等式，然后两个等式作差整理．